الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $6$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $7$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $8$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((5 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

وسّع $(5 - λ) (9 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (5 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1

اضرب $5$ في $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اطرح $9 λ$ من $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.3

اضرب $- 8$ في $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $48$ من $45$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.3

أعِد ترتيب $- 14 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 (9 - λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 \cdot 9 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.4

اضرب $- 7$ في $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $42$ من $36$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

خطوة 5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (4 \cdot 8 - 7 (5 - λ))$

خطوة 5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

اضرب $4$ في $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 (5 - λ))$

خطوة 5.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 \cdot 5 - 7 (- λ))$

خطوة 5.4.2.1.3

اضرب $- 7$ في $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 - 7 (- λ))$

خطوة 5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 + 7 λ)$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $35$ من $32$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (- 3 + 7 λ)$

خطوة 5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 3$ و $7 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

وسّع $(1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.1

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.2

اضرب $- 14 λ$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.4

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.4.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.4.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.6

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.6.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.6.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.7

اضرب $- 1$ في $- 14$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.2.8

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.3

أضف $λ^{2}$ و $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.4

أضف $- 14 λ$ و $3 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.6

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.7

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ - 3)$

خطوة 5.5.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ) + 3 \cdot - 3$

خطوة 5.5.1.9

اضرب $7$ في $3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ + 3 \cdot - 3$

خطوة 5.5.1.10

اضرب $3$ في $- 3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ - 9$

خطوة 5.5.2

أضف $- 11 λ$ و $8 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 12 + 21 λ - 9$

خطوة 5.5.3

أضف $- 3 λ$ و $21 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - 3 - λ^{3} + 12 - 9$

خطوة 5.5.4

أضف $- 3$ و $12$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$

خطوة 5.5.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

اطرح $9$ من $9$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 0$

خطوة 5.5.5.2

أضف $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$

خطوة 5.5.6

انقُل $18 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - λ^{3} + 18 λ$

خطوة 5.5.7

أعِد ترتيب $15 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- λ$ من $15 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) + 18 λ = 0$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $- λ$ من $18 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2}) - λ (- 15 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ (- 18)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة $λ$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ = 0$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $λ^{2} - 15 λ - 18$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $λ^{2} - 15 λ - 18$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 15$ و $c = - 18$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.1

ارفع $- 15$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 18$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 72}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.3

أضف $225$ و $72$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.4

أعِد كتابة $297$ بالصيغة $3^{2} \cdot 33$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $297$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{9 (33)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2}$

خطوة 7.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

خطوة 7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$ صحيحة.

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

الصيغة العشرية:

$λ = 0, 16.11684396 \dots, - 1.11684396 \dots$